números Realeseditar
para cualquier número real x, el valor absoluto o módulo de x se denota por |x /(una barra vertical a cada lado de la cantidad) y se define como
| x | = { x , if x ≥ 0 − x , if x < 0. {\displaystyle |x|=\left\{{\begin{array}{rl}x,&{\text{si }}x\geq 0\\-x,&{\text{si }}x<0.\end{array}} \ right.,}
El valor absoluto de x es por lo tanto siempre positivo o cero, pero nunca negativo: cuando x sí es negativo (x < 0), entonces su valor absoluto es necesariamente positivo (|x| = −x > 0).
desde un punto de vista de geometría analítica, el valor absoluto de un número real es la distancia de ese número desde cero a lo largo de la línea de números reales, y más generalmente el valor absoluto de la diferencia de dos números reales es la distancia entre ellos., La noción de una función abstracta de distancia en matemáticas puede ser vista como una generalización del valor absoluto de la diferencia (ver «Distancia» más abajo).
dado que el símbolo de la raíz cuadrada representa la única raíz cuadrada positiva (cuando se aplica a un número positivo), se deduce que
| x | = x 2 {\displaystyle |x|={\sqrt {x^{2}}}}
es equivalente a la definición anterior, y puede usarse como una definición alternativa del valor absoluto de los números reales.,
el valor absoluto tiene las siguientes cuatro propiedades fundamentales (a, b son números reales), que se utilizan para la generalización de esta noción a otros dominios:
algunas propiedades útiles adicionales se dan a continuación. Estas son consecuencias inmediatas de la definición o implícitas por las cuatro propiedades fundamentales anteriores.,
Dos otras propiedades útiles relativos a las desigualdades son:
| a | ≤ b ⟺ − b ≤ a ≤ b {\displaystyle |a|\leq b\iff-b\leq a\leq b} | a | ≥ b ⟺ a ≤ − b {\displaystyle |a|\geq b\iff a\leq b\ } o a ≥ b {\displaystyle a\geq b}
Estas relaciones pueden ser utilizados para resolver las desigualdades que implican valores absolutos., Por ejemplo:
| | x − 3 | ≤ 9 {\displaystyle |x-3|\leq 9} | ⟺ − 9 ≤ x − 3 ≤ 9 {\displaystyle \iff -9\leq x-3\leq 9} |
| ⟺ − 6 ≤ x ≤ 12 {\displaystyle \iff -6\leq x\leq 12} |
El valor absoluto, como «distancia de cero», se utiliza para definir la diferencia absoluta entre arbitraria de números reales, el estándar de la métrica en los números reales.,
números Complejoseditar
dado que los números complejos no están ordenados, la definición dada en la parte superior para el valor absoluto real no se puede aplicar directamente a los números complejos. Sin embargo, la interpretación geométrica del valor absoluto de un número real como su distancia desde 0 puede ser generalizada. El valor absoluto de un número complejo se define por la distancia euclidiana de su punto correspondiente en el plano complejo desde el origen., Esto puede ser calculada usando el teorema de Pitágoras: para cualquier número complejo
z = x + i y , {\displaystyle z=x+iy,}
donde x e y son números reales, el valor absoluto o módulo de z es denotado |z| y se define por
| z | = 2 + 2 = x 2 + y 2 , {\displaystyle |z|={\sqrt {^{2}+^{2}}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},}
donde Re(z) = x y Im(z) = y denotan las partes real e imaginaria de z, respectivamente. Cuando la parte imaginaria y es cero, esto coincide con la definición del valor absoluto del número real x.,
Cuando un número complejo z se expresa en su forma polar como
z = r e i θ , {\displaystyle z=re^{i\theta },} | z | = r {\displaystyle |z|=r} . | z | = z ⋅ z , {\displaystyle |z|={\sqrt {z\cdot {\overline {z}}}},}
se asemeja a la definición alternativa de reales: | x | = x ⋅ x . {\displaystyle / x/ = {\sqrt {x \ cdot x}}.}
el valor absoluto complejo comparte las cuatro propiedades fundamentales dadas anteriormente para el valor absoluto real.,
en el lenguaje de la teoría de grupos, la propiedad multiplicativa puede ser reformulada de la siguiente manera: el valor absoluto es un homomorfismo grupal del grupo multiplicativo de los números complejos al grupo bajo multiplicación de números reales positivos.
| ∑ k = 1 n z k | ≤ ∑ k = 1 n | z k | . ( ∗ ) {\displaystyle {\Bigg |}\sum _{k=1}^{n}z_{k}{\Bigg |}\leq \sum _{k=1}^{n}|z_{k}|.\quad \quad (*)} | ∫ E f D x | ≤ ∫ E | f | D x . ( ∗ ∗ ) {\displaystyle {\Bigg |}\int _{E}f\ dx{\Bigg |}\leq \int _{E}|f|\ dx.,\quad \quad ( * * )}
(esto incluye funciones integrables de Riemann sobre un intervalo acotado {\displaystyle} como un caso especial.)
> Prueba del triángulo complejo inequalityEdit
(i): existe c ∈ C {\displaystyle c\in \mathbb {C} } tal que | c | = 1 {\displaystyle |c|=1}, | z | = c ⋅ z {\displaystyle |z|=c\cdot z} ; (ii): R e ( z ) ≤ | z | {\displaystyle \mathrm {Re} (z)\leq |z|} . (iii): si ∑ k w k ∈ R {\estilo de texto \sum _{k}w_{k}\in \mathbb {R} } , entonces ∑ k w k = ∑ k I e ( w k ) {\estilo de texto \sum _{k}w_{k}=\sum _{k}\mathrm {Re} (w_{k})} ., | ∑ a k z k | = ( i ) (c) ( ∑ a k z k = ∑ k k = ( i, i, i) – ∑ k a R e ( k) ≤ i ( i ) ∑ a k | a k | = ∑ k | c | | z k | = ∑ k | z k | {\displaystyle {\Big |}\sum _{k}z_{k}{\Big |}\;{\desbordado {(i)}{=}}\;f{\Big (}\sum _{k}z_{k}{\Big )}=\sum _{k}cz_{k}\;{\desbordado {(d)}{=}}\;\sum _{k}\mathrm {Re} (cz_{k})\;{\desbordado {(I)}{\leq }}\;\sum _{k}|cz_{k}|=\sum _{k}|c||z_{k}|=\sum _{k}|z_{k}|} .
