Real numbersEdit
Pentru orice număr real x, valoarea absolută sau modulul lui x este notată cu |x| (o bară verticală pe fiecare parte a cantității) și este definit ca
| x | = { x , dacă x ≥ 0 − x , dacă x < 0. {\displaystyle |x|=\left\{{\begin{array}{rl}x,&{\text{daca }}x\geq 0\\-x,&{\text{daca }}x<0.\ end {array}} \ right.,}
valoarea absolută a lui x este, prin urmare, întotdeauna pozitiv sau zero, dar nu negativ: atunci când x este în sine negative (x < 0), atunci valoarea sa absolută este în mod necesar pozitiv (|x| = −x > 0).din punct de vedere al geometriei analitice, valoarea absolută a unui număr real este distanța acelui număr de la zero de-a lungul liniei numărului real și, în general, valoarea absolută a diferenței a două numere reale este distanța dintre ele., Noțiunea de funcție de distanță abstractă în matematică poate fi văzută ca o generalizare a valorii absolute a diferenței (a se vedea „distanța” de mai jos).
Începând cu rădăcina pătrată simbol reprezintă unica rădăcină pătrată pozitivă (atunci când se aplică pentru un număr pozitiv), rezultă că
| x | = x 2 {\displaystyle |x|={\sqrt {x^{2}}}}
este echivalentă cu definiția de mai sus, și poate fi folosit ca o definiție alternativă a valorii absolute a numerelor reale.,valoarea absolută are următoarele patru proprietăți fundamentale (A, B sunt numere reale), care sunt utilizate pentru generalizarea acestei noțiuni la alte domenii:
unele proprietăți utile suplimentare sunt prezentate mai jos. Acestea sunt fie consecințe imediate ale definiției, fie implicite de cele patru proprietăți fundamentale de mai sus.,
alte Două proprietăți utile privind inegalitățile sunt:
| a | ≤ b ⟺ − b ≤ a ≤ b {\displaystyle |o|\leq b\iff -b\leq o\leq b} | a | ≥ b ⟺ a ≤ − b {\displaystyle |o|\geq b\iff o\leq -b\ } sau un ≥ b {\displaystyle o\geq b}
Aceste relații pot fi utilizate pentru a rezolva inegalitățile care implică valori absolute., De exemplu:
| | x − 3 | ≤ 9 {\displaystyle |x-3|\leq 9} | ⟺ − 9 ≤ x 3 ≤ 9 {\displaystyle \iff -9\leq x-3\leq 9} |
| ⟺ − 6 ≤ x ≤ 12 {\displaystyle \iff -6\leq x\leq 12} |
valoarea absolută, ca „distanta de la zero”, este folosit pentru a defini diferența absolută între arbitrare de numere reale, valori standard pe numere reale.,deoarece numerele complexe nu sunt ordonate, definiția dată în partea de sus pentru valoarea absolută reală nu poate fi aplicată direct numerelor complexe. Cu toate acestea, interpretarea geometrică a valorii absolute a unui număr real ca distanță de la 0 poate fi generalizată. Valoarea absolută a unui număr complex este definită de distanța euclidiană a punctului său corespunzător în planul complex de la origine., Acest lucru poate fi calculată folosind teorema lui Pitagora: pentru orice număr complex
z = x + i y , {\displaystyle z=x+iy,}
în cazul în care x și y sunt numere reale, valoarea absolută sau modulul lui z este notat cu |z| și este definit de
| z | = 2 + 2 = x 2 + y 2 , {\displaystyle |z|={\sqrt {^{2}+^{2}}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},}
în cazul în care Re(z) = x și Im(z) = y a desemna părțile reale și imaginare ale lui z, respectiv. Când partea imaginară y este zero, aceasta coincide cu definiția valorii absolute a numărului real x.,
atunci Când un număr complex z se exprimă în formă polară
z = r e i θ , {\displaystyle z=re^{i\theta },} | z | = r {\displaystyle |z|=r} . | z | = z ⋅ z , {\displaystyle |z|={\sqrt {z\cdot {\overline {z}}}},}
asemănătoare definiție alternativă pentru reali: | x | = x ⋅ x . în cazul în care nu există nici un fel de}
valoarea absolută complexă împărtășește cele patru proprietăți fundamentale date mai sus pentru valoarea absolută reală.,
în limbajul teoriei grupurilor, proprietatea multiplicativă poate fi reformulată după cum urmează: valoarea absolută este un homomorfism de grup din grupul multiplicativ al numerelor complexe pe grupul aflat sub multiplicarea numerelor reale pozitive. p | / ∑ k = 1 n z k / ≤ ∑ k = 1 n | z k | . ( ∗ ) {\displaystyle {\Bigg |}\sum _{k=1}^{n}z_{k}{\Bigg |}\leq \sum _{k=1}^{n}|z_{k}|.\quad \ quad ( * )} | ∫ E f d x | ≤ ∫ E | f | d x . ( ∗ ∗ ) {\displaystyle {\Bigg |}\int _{E}f\ DX{\Bigg |}\leq \int _{E}|f|\ dx.,\quad \ quad ( * * )}
(aceasta include funcțiile Riemann-integrabile într-un interval delimitat {\displaystyle } ca un caz special.)
Dovada de complex triunghi inequalityEdit
(i): există c ∈ C {\displaystyle c\in \mathbb {C} } astfel încât | c | = 1 {\displaystyle |c|=1} și | z | = c ⋅ z {\displaystyle |z|=c\cdot z} ; (ii): R e ( z ) ≤ | z | {\displaystyle \mathrm {Re} (z)\leq |z|} . (iii): dacă ∑ k w k ∈ R {\textstyle \sum _{k}w_{k}\in \mathbb {R} } , atunci ∑ k w k = ∑ k R e ( w k ) {\textstyle \sum _{k}w_{k}=\sum _{k}\mathrm {Re} (w_{k})} ., | ∑ a k z k | = ( i ) (c) ( ∑ a k z k = ∑ k k = ( i, i, i) – ∑ k o R e ( k) ≤ i ( o i ) ∑ a k | k | = ∑ k | c | | z k | = ∑ k | z k | {\displaystyle {\Mare |}\sum _{k}z_{k}{\Mare |}\;{\overset {(i)}{=}}\;f{\Mare (}\sum _{k}z_{k}{\Mare )}=\sum _{k}cz_{k}\;{\overset {(d)}{=}}\;\sum _{k}\mathrm {Re} (cz_{k})\;{\overset {(I)}{\leq }}\;\sum _{k}|cz_{k}|=\sum _{k}|c||z_{k}|=\sum _{k}|z_{k}|} .
