3.2.1 curbele de indiferență și rata marginală de substituție
Alexei îi pasă de gradul său de examen și de timpul liber. Am văzut că preferințele sale pot fi reprezentate grafic folosind curbe de indiferență și că dorința sa de a schimba punctele de grad pentru timpul liber—rata marginală de substituție—este reprezentată de panta curbei de indiferență. Aici vom arăta cum să reprezentăm matematic preferințele sale.,
utilitate un indicator numeric al valorii pe care o plasează pe un rezultat, astfel încât rezultatele evaluate mai mari vor fi alese peste cele evaluate mai mici atunci când ambele sunt fezabile.
amintiți-vă că o curbă de indiferență unește combinații de puncte de grad și timp liber care îi oferă lui Alexei aceeași utilitate. Preferințele pot fi reprezentate matematic prin scrierea unei funcții de utilitate, care ne spune cum „unitățile de utilitate” ale unei persoane depind de bunurile disponibile. Alexei îi pasă doar de două bunuri: orele sale de timp liber și gradul său de examen., Dacă are unități de timp liber și puncte de grad, utilitatea sa este dată de o funcție:
deoarece atât gradul, cât și timpul liber sunt bunuri—Alexei ar dori să aibă cât mai mult din fiecare—funcția de utilitate trebuie să aibă proprietatea care crește sau ar crește . În acest caz, spunem că utilitatea depinde pozitiv de și .
curba indiferenței o curbă a punctelor care indică combinațiile de mărfuri care oferă un anumit nivel de utilitate individului.
funcția de utilitate a lui Alexei are două argumente., La fel cum o funcție a unei variabile poate fi reprezentată grafic de o curbă pe un plan, o funcție a două variabile poate fi reprezentată de o suprafață în spațiul tridimensional. Deoarece diagramele tridimensionale sunt greu de manevrat, economiștii analizează utilitatea grafic folosind aceeași tehnică folosită pentru a reprezenta spațiul tridimensional în care trăim: o hartă a conturului. Contururile sunt linii care unește puncte de înălțime egală deasupra nivelului mării. În mod similar, curbele de indiferență sunt contururile suprafeței utilitare, care unește puncte de utilitate egală.,în cazul lui Alexei, o curbă de indiferență arată toate combinațiile de timp liber și gradul de examen care îi conferă același nivel de utilitate. Ecuația unei curbe tipice de indiferență este:
unde Constanta reprezintă nivelul de utilitate atins pe curbă. Diferite valori ale corespund diferitelor curbe de indiferență: dacă creștem obținem o nouă curbă de indiferență care este deasupra și în dreapta celei vechi. Puteți vedea trei dintre curbele de indiferență ale lui Alexei în figura 3.6 a textului, pe care le reproducem ca figura 1 de mai jos.,
Figura 1 maparea preferințelor lui Alexei.
rata marginală de substituție
Având în orice combinație de timp liber și de calitate, Alexei este rata marginală de substituție (DNA) (care este, de dorința lui de a comerțului grad de puncte pentru o oră în plus de timp liber) este dat de panta la curba de indiferență prin acel punct.
cum putem calcula panta curbei de indiferență ?pentru a face acest lucru, trebuie să folosim derivatele parțiale ale funcției de utilitate., De exemplu, surprinde modul în care modificările de utilitate ca creșteri, care deține constantă. În economie, derivatul parțial se numește utilitatea marginală a timpului liber. În mod similar este utilitatea marginală a punctelor de grad. Am observat deja că utilitatea depinde pozitiv de și . Cu alte cuvinte, utilitățile marginale ale lui Alexei sunt atât pozitive.calculăm panta curbei de indiferență folosind o tehnică numită diferențiere implicită, pe care o vom întâlni din nou în Leibnizes ulterioare., În cazul de față, metoda implică luarea în considerare a modului în care notele de examen ar trebui să se schimbe dacă timpul liber ar crește cu o cantitate mică, pentru a menține utilitatea constantă.
Să presupunem ambele și să se schimbe în cantități mici și ., Mici creșteri de formula pentru funcții de două variabile oferă o aproximare a schimba în utilitate , exprimându-se ca suma de un timp liber efect „și un” examen de grad efect:
în Cazul în care modificările si sunt de așa natură încât Alexei rămâne pe aceeasi curba de indiferență, apoi utilitate nu se schimba; astfel , ceea ce implică faptul că
Rearanjarea,
modificările și împreună produc o mică mișcare de-a lungul o curba de indiferență. Deci, dacă luăm acum limita ca, partea stângă se apropie de panta acelei curbe și aproximarea devine o ecuație.,astfel, panta curbei de indiferență prin orice punct este dată de formula:
rata marginală de substituție (MRS) compromisul pe care o persoană este dispusă să îl facă între două bunuri. În orice moment, aceasta este panta curbei de indiferență. A se vedea, de asemenea: rata marginală de transformare.
partea dreaptă a acestei ecuații este negativă, deoarece ambele utilități marginale sunt pozitive: creșterea timpului liber sau a gradului de examen crește utilitatea lui Alexei. Astfel, curbele indiferență pantă în jos, la fel ca în diagrama., Pentru a reduce confuzia, definim de obicei rata marginală de substituție (MRS) ca valoare absolută a pantei. Deci:
sau, în cuvinte,
definirea MRS ca număr pozitiv ne permite să spunem, de exemplu, că MRS este mai mare (Alexei este mai dispus să schimbe punctele de grad pentru timpul liber) în punctele în care curba indiferenței este mai abruptă, în timp ce panta curbei indiferenței este mai negativă în astfel de puncte.
MRS este rata la care Alexei este pregătit să tranzacționeze puncte de grad pentru Ore suplimentare de timp liber., Ecuația de mai sus, care exprimă MRS ca raport al utilităților marginale, poate fi interpretată după cum urmează: MRS este aproximativ egală cu utilitatea suplimentară obținută dintr-o altă unitate de timp liber, împărțită la utilitatea suplimentară obținută dintr-un punct de grad suplimentar. Ca de obicei, cu interpretări ale afirmațiilor exacte care implică calcul în termeni de unități individuale, aproximarea este una bună dacă unitățile sunt cantități mici.,
Convex preferințele
Fiecare curba de indiferență în Figura 1 devine plat ca o mută de-a lungul-l la dreapta:
rata marginală de substituție (DNA) trade-off care o persoană este dispusă să o facă între două bunuri. În orice moment, aceasta este panta curbei de indiferență. A se vedea, de asemenea: rata marginală de transformare.
doamna lui Alexei cade dacă timpul său liber devine mai mare și gradul său de examen scade în așa fel încât să-și păstreze utilitatea constantă., Această proprietate a preferințelor lui Alexei este cunoscută sub numele de diminuarea ratei marginale de substituție și este de obicei asumată atunci când tragem curbe de indiferență cu două bunuri.un alt mod de a descrie această ipoteză este de a observa că curbele de indiferență ale lui Alexei sunt convexe. În termeni algebrici, dacă rescriem ecuația unei curbe de indiferență în formă, atunci este o funcție descrescătoare și convexă a Pentru dat . Spunem că Alexei are preferințe convexe.o persoană ale cărei preferințe sunt convexe preferă întotdeauna amestecurile de bunuri la extremele fie bune., Dacă tragem o linie între două puncte pe aceeași curbă de indiferență, atunci fiecare punct de pe linie este un amestec al celor două puncte finale. Când curbele de indiferență sunt convexe, toate punctele de pe linia dintre punctele finale dau o utilitate mai mare decât punctele finale.
vom da un exemplu de funcție de utilitate care afișează diminuarea MRS în secțiunea următoare.Citește mai mult: secțiunile 14.2 (pentru formula creșterilor mici) și 15.1 (pentru contururi și diferențiere implicită) ale lui Malcolm Pemberton și Nicholas Rau. 2015. Matematică pentru economiști: un manual introductiv, ediția a 4-a., Manchester: Manchester University Press.
un exemplu: funcția de utilitate Cobb-Douglas
În această secțiune, ne uităm la o anumită funcție de utilitate care este adesea folosită în modelarea economică. Derivăm expresii pentru utilitățile marginale și rata marginală de substituție și verificăm proprietățile acestora.ca și înainte, Alexei îi pasă de timpul liber și de gradul său de examen. Să presupunem că funcția sa de utilitate este:
unde și sunt constante pozitive. Această funcție are câteva proprietăți matematice foarte convenabile., Se numește o funcție Cobb-Douglas după cei doi oameni care au introdus-o în economie.pentru a găsi utilitățile marginale ale timpului liber și gradul de examen, trebuie să găsim derivatele parțiale ale funcției de utilitate. Diferențierea cu privire la , vom vedea că utilitatea marginală a timpului liber este:
știm din funcția de utilitate care , care ne oferă o simplă expresie pentru utilitatea marginală a timpului liber:
de asemenea, utilitatea marginală a examenului de grad este:
Observați că, atunci când și sunt pozitive, așa este . Prin urmare, presupunerea că este și pozitivă implică acest lucru ., În mod similar, implică faptul că . Cu alte cuvinte, presupunerea că ambele și sunt pozitive asigură că „bunurile sunt bune”: utilitatea lui Alexei crește pe măsură ce timpul liber sau punctele de grad cresc.în secțiunea anterioară, am definit rata marginală de substituție (MRS) între timpul liber și punctele de notă ca valoare absolută a pantei unei curbe de indiferență și am arătat că este egală cu raportul dintre utilitatea marginală a timpului liber și utilitatea marginală a notei de examen., Cu funcția de utilitate Cobb-Douglas:
curbele de indiferență sunt înclinate în jos în spațiu, astfel încât să ne deplasăm spre dreapta de-a lungul unei curbe de indiferență, se ridică și cade și astfel cade. Deoarece și sunt pozitive, doamna cade și ea. Astfel, funcția de utilitate Cobb-Douglas implică diminuarea doamnei
Citește mai mult: secțiunile 15.1 și 15.2 ale lui Malcolm Pemberton și Nicholas Rau. 2015. Matematică pentru economiști: un manual introductiv, ediția a 4-a. Manchester: Manchester University Press.
