Radicales: introducción y simplificación

podemos elevar números a potencias que no sean solo 2; podemos hacer cubos de cosas (elevando cosas a la tercera potencia, o «a la potencia 3»), elevarlas a la cuarta potencia (o «a la potencia 4»), elevarlas a la potencia 100, y así sucesivamente. De la misma manera, podemos tomar la raíz cúbica de un número, la cuarta raíz, la raíz 100, y así sucesivamente. Así como la raíz cuadrada deshace la cuadratura, así también la raíz cúbica deshace la cubicación, la cuarta raíz deshace la elevación de las cosas a la cuarta potencia, etcétera., Para indicar alguna raíz que no sea una raíz cuadrada al escribir, usamos el mismo símbolo radical que para la raíz cuadrada, pero insertamos un número en el frente del radical, escribiendo el número pequeño y metiéndolo en la parte «Marca de verificación» del símbolo radical. Este número escondido corresponde a la raíz que estás tomando. Por ejemplo, relacionando cubing y cube-rooting, tenemos:

» sería técnicamente correcto, nunca lo he visto usado.,

podemos tomar cualquier número de conteo, cuadrarlo, y terminar con un buen número ordenado. Pero el proceso no siempre funciona bien cuando se va hacia atrás. Por ejemplo, considere

, la raíz cuadrada de tres. No hay un buen número aseado que cuadratura a 3, por lo que no se puede simplificar como un buen número entero., Podemos tratar con cualquiera de dos maneras: si estamos haciendo un problema de palabras y estamos tratando de encontrar, por ejemplo, la tasa de velocidad, entonces tomaríamos nuestras calculadoras y encontraríamos la aproximación decimal de :

entonces redondearíamos el valor anterior a un número apropiado de lugares decimales y usaríamos una unidad o etiqueta del mundo real, como «1.7 ft/seg». Por otro lado, podemos estar resolviendo un simple ejercicio de matemáticas, algo que no tiene una aplicación «práctica». Entonces es casi seguro que querrían que diéramos el valor «exacto», por lo que escribiríamos nuestra respuesta como simplemente»

«.,

ya que la mayor parte de lo que vas a tratar serán raíces cuadradas (es decir, segundas raíces), la mayor parte de esta lección se ocupará de ellas específicamente.

simplificando Términos de raíz cuadrada

para simplificar un término que contiene una raíz cuadrada, «sacamos» cualquier cosa que sea un «cuadrado perfecto»; es decir, factorizamos dentro del símbolo radical y luego sacamos delante de ese símbolo cualquier cosa que tenga dos copias del mismo factor., el factor 2; por lo tanto, podemos tomar un 2 delante, dejando nada (pero entendió 1) dentro del radical, que luego soltar:

del mismo modo, 49 es el cuadrado de 7, por lo que contiene dos copias de el factor 7:

Y 225 es el cuadrado de 15, por lo que contiene dos copias de el factor 15, así:

tenga en cuenta que el valor de la simplificación radical es positivo., Mientras que cualquiera de +2 y -2 podría haber sido cuadrado para obtener 4, «la raíz cuadrada de cuatro» se define como solo la opción positiva, +2. Es decir, la definición de la raíz cuadrada dice que la raíz cuadrada escupirá solo la raíz positiva.

en una nota al margen, permítanme enfatizar que » evaluar «una expresión (para encontrar su único valor) y» resolver » una ecuación (para encontrar su una o más, o no, soluciones) son dos cosas muy diferentes. En el primer caso, estamos simplificando para encontrar el valor definido para una expresión., En el segundo caso, estamos buscando todos y cada uno de los valores que harán que la ecuación original sea verdadera.

así que, por ejemplo, cuando resolvemos la ecuación x2 = 4, estamos tratando de encontrar todos los valores posibles que podrían haber sido cuadrados para obtener 4. Pero cuando estamos simplificando la expresión

, la única respuesta es «2»; Este resultado positivo se llama la raíz» principal». (Otras raíces, como -2, se pueden definir usando temas de la escuela de posgrado como » análisis complejo «y» funciones de rama», pero no necesitará eso durante años, si es que lo necesita.,)

a menudo, el argumento de un radical no es un cuadrado perfecto, pero se puede «contener» una plaza entre sus factores. Para simplificar este tipo de radical, necesitamos factorizar el argumento (es decir, factorizar lo que está dentro del símbolo radical) y «sacar» una copia de cualquier cosa que sea un cuadrado. Es decir, encontramos cualquier cosa de la que tenemos un par dentro del radical, y movemos una copia del mismo al frente., Al hacer esto, puede ser útil usar el hecho de que podemos cambiar entre la multiplicación de raíces y la raíz de una multiplicación. En otras palabras, podemos usar el hecho de que los radicales pueden ser manipulados de manera similar a los poderes:

• Simplificar

Otra forma de hacer la sobre simplificación sería para recordar nuestras plazas., Probablemente ya sabías que 122 = 144, así que obviamente la raíz cuadrada de 144 debe ser 12. Pero mis pasos anteriores muestran cómo se puede cambiar entre los diferentes formatos (multiplicación dentro de un radical, versus multiplicación de dos radicales) para ayudar en el proceso de simplificación.

en caso de que te estés preguntando, los productos de radicales se escriben habitualmente como se muestra arriba, usando «multiplicación por yuxtaposición», que significa»se ponen uno al lado del otro, lo que estamos usando para significar que se multiplican entre sí»., Se podría poner un símbolo de «tiempos» entre los dos radicales, pero esto no es estándar.

• Simplificar

• Simplificar

Al escribir una expresión que contiene radicales, es la forma apropiada para poner el radical al final de la expresión. No solo es «

» no estándar, es muy difícil de leer, especialmente cuando está escrito a mano. ¿El 5 está incluido en la raíz cuadrada, o no? (En nuestro caso aquí, no lo es.)

y tenga cuidado de escribir cuidadosamente, porque »

«no es lo mismo que»»., No quieres que tu letra haga que el lector piense que quieres decir algo distinto a lo que pretendías.

no tienes que factorizar el radicand hasta los números primos al simplificar. Tan pronto como ves que tienes un par de factores o un cuadrado perfecto, y que lo que queda no tendrá nada que se pueda sacar del radical, has ido lo suficientemente lejos.,

• Simplificar

Ya había sido sólo una copia de un factor de 2 en el de la factorización de 2 × 6 × 6, el de la izquierda-más de 2 no podía salir de la radical y tuvo que ser dejado atrás.,

• Simplificar

Sí, He utilizado «tiempos» en mi trabajo anterior. No, No incluirías un símbolo de «tiempos» en la respuesta final., Estaba usando el «times» para ayudarme a mantener las cosas claras en mi trabajo. He utilizado el formato regular para mi respuesta de mano en. Al hacer su trabajo, utilice cualquier Notación que funcione bien para usted.