Real numbersEdit
Para qualquer número real x, o valor absoluto ou módulo de x é denotado por |x| (uma barra vertical em cada lado da quantidade) e é definido como
| x | = { x , se x ≥ 0 − x , se x < 0. {\displaystyle |x|=\left\{{\begin{array}{rl}x,&{\text{se }}x\geq 0\\-x,&{\text{se }}x<0.\end{array}}\right.,}
O valor absoluto de x é, portanto, sempre positivo ou zero, mas nunca negativo: quando x é negativo (x < 0), então o seu valor absoluto é necessariamente positivo (|x| = −x > 0).
de um ponto de vista da Geometria Analítica, o valor absoluto de um número real é a distância desse número de zero ao longo da linha do número real, e mais geralmente o valor absoluto da diferença de dois números reais é a distância entre eles., A noção de uma função de distância abstrata em matemática pode ser vista como uma generalização do valor absoluto da diferença (ver “distância” abaixo).
Desde a raiz quadrada símbolo representa a única raiz quadrada positiva (quando aplicado a um número positivo), segue-se que
| x | = x 2 {\displaystyle |x|={\sqrt {x^{2}}}}
é equivalente à definição acima, e pode ser usado como uma alternativa de definição do valor absoluto dos números reais.,
O valor absoluto tem as seguintes quatro propriedades fundamentais (a, b são números reais), que são utilizados para a generalização desta noção para outros domínios:
Alguns adicionais úteis propriedades são dadas abaixo. Estas são consequências imediatas da definição ou implícitas pelas quatro propriedades fundamentais acima.,
Duas outras propriedades úteis relativas a desigualdades são:
| a | ≤ b ⟺ − b ≤ a ≤ b {\displaystyle |uma|\leq b\iff-b\leq um\leq b} | a | ≥ b ⟺ uma ≤ − b {\displaystyle |uma|\geq b\iff um\leq -b\ } ou a ≥ b {\displaystyle um\geq b}
Estas relações podem ser utilizadas para resolver as desigualdades envolvendo valores absolutos., Por exemplo:
| | x − 3 | ≤ 9 {\displaystyle |x-3|\leq 9} | ⟺ − 9 ≤ x 3 ≤ 9 {\displaystyle \iff -9\leq x-3\leq 9} |
| ⟺ − 6 ≤ x ≤ 12 {\displaystyle \iff -6\leq x\leq 12} |
O valor absoluto, como “distância do zero”, é usado para definir o valor absoluto da diferença entre arbitrária de números reais, a métrica padrão sobre os números reais.,
número complexo edit
Uma vez que os números complexos não são ordenados, a definição dada no topo para o valor absoluto real não pode ser diretamente aplicada aos números complexos. No entanto, a interpretação geométrica do valor absoluto de um número real como sua distância de 0 pode ser generalizada. O valor absoluto de um número complexo é definido pela distância Euclidiana de seu ponto correspondente no plano complexo da origem., Este pode ser calculado usando o teorema de Pitágoras: para qualquer número complexo
z = x + i y , {\displaystyle z=x+iy,}
, onde x e y são números reais, valor absoluto ou módulo de z é indicado |z| e é definida por
| z | = 2 + 2 = x 2 + y 2 , {\displaystyle |z|={\sqrt {^{2}+^{2}}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},}
onde Re(z) = x e Im(z) = y denotam as partes real e imaginária de z, respectivamente. Quando a parte imaginária y é zero, isto coincide com a definição do valor absoluto do número real X.,
Quando um número complexo z é expresso em sua forma polar como
z = r e i θ , {\displaystyle z=re^{i\theta },} | z | = r {\displaystyle |z|=r} . | z / = z ⋅ z, {\displaystyle |z / ={\sqrt {z\cdot {\overline {z}}}}}}},}
assemelhando-se à definição alternativa para Reais: | x | = x ⋅ x. {\displaystyle |x / ={\sqrt {x\cdot x}}.}
o valor absoluto complexo partilha as quatro propriedades fundamentais indicadas acima para o valor absoluto real.,
Na linguagem da teoria dos grupos, a propriedade multiplicativa pode ser reformulada da seguinte forma: se o valor absoluto for um grupo homomorphism do grupo multiplicativo dos números complexos para o grupo de multiplicação de números reais positivos.<| p> | ∑ k = 1 n z k | ≤ ∑ k = 1 n | z k/. ( ∗ ) {\displaystyle {\Bigg |}\sum _{k=1}^{n}z_{k}{\Bigg |}\leq \sum _{k=1}^{n}|z_{k}|.\quad \quad ( * )}/} e f D x | ≤ ∫ E / f / d X. ( ∗ ∗ ) {\displaystyle {\bigg |}\int _{E}f\ dx{\bigg |}\leq \int _{E}|f|\ dx.,\quad \quad ( * * )}
(isto inclui funções Riemann-integrable num intervalo limitado {\displaystyle } como um caso especial.)
Prova do complexo triângulo inequalityEdit
(eu): existe c ∈ C {\displaystyle c\in \mathbb {C} } tal que | c | = 1 {\displaystyle |c|=1} e | z | = c ⋅ z {\displaystyle |z|=c\cdot z} ; (ii) R e ( z ) ≤ | z | {\displaystyle \mathrm {Re} (z)\leq |z|} . (iii): se ∑ k w k ∈ R {\textstyle \sum _{k}w_{k}\in \mathbb {R} } e , em seguida, ∑ k w k = ∑ k R ( w k ) {\textstyle \sum _{k}w_{k}=\sum _{k}\mathrm {Re} (w_{k})} ., | ∑ a k z k | = ( i ) (c) ( ∑ a k z k = ∑ k k = ( i, i, i) – ∑ k a R e ( k) ≤ i ( a i ) ∑ a k | k | = ∑ k | c | | z k | = ∑ k | z k | {\displaystyle {\Big |}\sum _{k}z_{k}{\Big |}\;{\overset {(i)} {=}}\, f{\Big (}\sum _{k}z_{k}{\Big )}=\sum _{k}cz_{k}\;{\overset {(d)}{=}}\;\sum _{k}\mathrm {Re} (cz_{k})\;{\overset {(I)}{\leq }}\;\sum _{k}|cz_{k}|=\sum _{k}|c||z_{k}|=\sum _{k}|z_{k}|} .
