3.2.1 curvas de Indiferença e a taxa marginal de substituição
Alexei se preocupa com o seu exame de grau e de seu tempo livre. Temos visto que as suas preferências podem ser representadas graficamente usando curvas de indiferença, e que sua vontade de trocar pontos de grade para o tempo livre—sua taxa marginal de substituição—é representado pela inclinação da curva de indiferença. Aqui nós mostramos como representar suas preferências matematicamente.,
utilidade um indicador numérico do valor que se coloca em um resultado, de modo que os resultados mais valorizados serão escolhidos em vez de valores mais baixos, quando ambos são viáveis.
lembre-se que uma curva de indiferença junta combinações de pontos de nota e tempo livre que dão a Alexei a mesma quantidade de utilidade. As preferências podem ser representadas matematicamente escrevendo uma função de utilidade, que nos diz como as “unidades de utilidade” de uma pessoa dependem dos bens disponíveis. Alexei só se preocupa com dois bens: suas horas de tempo livre e sua nota de exame., Se ele tem unidades de tempo livre e pontos de Grau, sua utilidade é dada por uma função:
Uma vez que tanto o grau e o tempo livre são bens—Alexei gostaria de ter o máximo de cada possível—a função de utilidade deve ter a propriedade que aumenta ou aumentaria . Neste caso, dizemos que a utilidade depende positivamente de e .curva de indiferença uma curva dos pontos que indicam as combinações de bens que fornecem um determinado nível de utilidade ao indivíduo. a função utilitária de Alexei tem dois argumentos., Apenas como uma função de uma variável pode ser representada graficamente por uma curva em um plano, uma função de duas variáveis pode ser representada por uma superfície no espaço tridimensional. Uma vez que diagramas tridimensionais são difíceis de manusear, os economistas analisam a utilidade graficamente usando a mesma técnica que é usada para representar o espaço tridimensional em que vivemos: um mapa do contorno. Os contornos são linhas que ligam pontos de altura igual acima do nível do mar. Similarmente, curvas de indiferença são os contornos da Superfície útil, unindo pontos de utilidade igual.,
no caso de Alexei, uma curva de indiferença mostra todas as combinações de tempo livre e grau de exame que lhe dão o mesmo nível de utilidade. A equação de uma curva de indiferença típica é:
onde a constante representa o nível de utilidade alcançado na curva. Diferentes valores de correspondem a diferentes curvas de indiferença: se aumentarmos obtemos uma nova curva de indiferença que está acima e à direita da antiga. Você pode ver três das curvas de indiferença de Alexei na figura 3.6 do texto, que reproduzimos como Figura 1 abaixo.,
Figura 1 mapeando as preferências de Alexei.
A taxa marginal de substituição
Dado qualquer combinação de tempo livre e de grau, Alexei da taxa marginal de substituição (TMS) (isto é, a sua vontade de trocar pontos de grade para uma hora extra de tempo livre é dada pela inclinação da curva de indiferença através do ponto.como podemos calcular a inclinação da curva de indiferença ?
para fazer isso, precisamos usar as derivadas parciais da função de utilidade pública., Por exemplo, captura como a utilidade muda conforme aumenta, mantendo constante. Em economia, a derivada parcial é chamada de utilidade marginal do tempo livre. Similarmente é a utilidade marginal de pontos de grau. Já constatámos que a utilidade depende positivamente de e . Em outras palavras, as utilidades marginais de Alexei são ambas positivas.
calculamos a inclinação da curva de indiferença usando uma técnica chamada Diferenciação implícita, que nos encontraremos novamente em Leibnizes posteriores., No caso presente, o método envolve considerar como as notas do exame precisariam mudar se o tempo livre aumentasse em uma pequena quantidade, a fim de manter a utilidade constante.
suponha tanto e mude por pequenas quantidades e ., Os pequenos incrementos fórmula para funções de duas variáveis fornece uma aproximação para a mudança na utilidade , expressando-a como a soma de um efeito tempo “e um” exame de grau efeito’:
Se a alterações e são tais que Alexei permanece na mesma curva de indiferença, então a sua utilidade não se altere; assim , o que implica que
a Reorganização,
As mudanças e, juntos, produzem um pequeno movimento ao longo de uma curva de indiferença. Então, se agora tomarmos o limite como, o lado esquerdo se aproxima da inclinação dessa curva e a aproximação se torna uma equação.,
assim, a inclinação da curva de indiferença através de qualquer ponto é dada pela fórmula:
taxa marginal de substituição (MRS) a troca que uma pessoa está disposta a fazer entre dois bens. Em qualquer ponto, esta é a inclinação da curva de indiferença. Ver também: taxa marginal de transformação.
o lado direito desta equação é negativo, uma vez que ambos os utilitários marginais são positivos: aumentar o tempo livre ou o grau de exame aumenta a utilidade de Alexei. Assim, a indiferença curva inclinação para baixo, como no diagrama., Para reduzir a confusão, normalmente definimos a taxa marginal de substituição (MRS) como o valor absoluto da inclinação. Assim:
ou, em palavras,
Definindo a tms como um número positivo nos permite dizer, por exemplo, que a MRS é maior (Alexei está mais disposto a negociar pontos de grade para o tempo livre) em pontos onde a curva de indiferença é mais acentuada, enquanto que a inclinação da curva de indiferença é mais negativa nesses pontos.a Sra. é a taxa a que o Alexei está preparado para trocar pontos por horas suplementares de tempo livre., A equação acima, expressando a MRS como uma proporção de utilitários marginais, pode ser interpretada da seguinte forma: a MRS é aproximadamente igual à utilidade extra obtida a partir de mais uma unidade de tempo livre, dividida pela utilidade extra obtida a partir de um ponto de grau adicional. Como de costume com interpretações de afirmações exatas envolvendo cálculo em termos de unidades individuais, a aproximação é boa se as unidades são pequenas quantidades.,
preferências convexas
cada curva de indiferença na Figura 1 torna-se mais plana à medida que se move ao longo dela para a direita:
taxa marginal de substituição (MRS) a troca que uma pessoa está disposta a fazer entre dois bens. Em qualquer ponto, esta é a inclinação da curva de indiferença. Ver também: taxa marginal de transformação. a Sra. de Alexei cai se seu tempo livre se torna maior e sua nota de exame diminui de forma a manter sua utilidade constante., Esta propriedade das preferências de Alexei é conhecida como a diminuição da taxa marginal de substituição e é geralmente assumida quando desenhamos curvas de indiferença com dois bens.
outra maneira de descrever esta suposição é notar que as curvas de indiferença de Alexei são convexas. Em termos algébricos, se reescrevermos a equação de uma curva de indiferença na forma , então é uma função decrescente e convexa de for given . Dizemos que o Alexei tem preferências convexas.
uma pessoa cujas preferências são convexas sempre prefere misturas de bens a extremos de qualquer bem., Se desenharmos uma linha entre dois pontos na mesma curva de indiferença, então cada ponto na linha é uma mistura dos dois pontos finais. Quando as curvas de indiferença são convexas, todos os pontos na linha entre os pontos finais dão maior utilidade do que os pontos finais.
vamos dar um exemplo de uma função de utilidade que mostra MRS diminuindo na próxima seção.leia mais: secções 14.2 (para a fórmula dos pequenos incrementos) e 15.1 (para os contornos e Diferenciação implícita) de Malcolm Pemberton e Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4th ed., Manchester: Manchester University Press.
Um exemplo: a função de Utilidade Pública Cobb-Douglas
nesta secção, olhamos para uma função de utilidade particular que é frequentemente usada na modelagem económica. Derivamos expressões para os utilitários marginais e a taxa marginal de substituição, e verificamos suas propriedades.como antes, Alexei se preocupa com o tempo livre e sua nota de exame. Suponha que sua função útil é:
Onde e são constantes positivas. Esta função tem algumas propriedades matemáticas muito convenientes., É chamada de função Cobb-Douglas depois das duas pessoas que a introduziram na economia.
para encontrar os utilitários marginais de tempo livre e grau de exame, devemos encontrar as derivadas parciais da função de utilidade pública. Diferenciando com respeito a , vemos que a utilidade marginal do tempo livre é:
Nós sabemos que a função de utilidade que , o que nos dá uma expressão simples para a utilidade marginal de tempo livre:
da mesma forma, a utilidade marginal do exame de grau é:
Repare que, quando seja positivo, é assim . Daí que a suposição de que isso é também positivo implica isso ., Da mesma forma, implica isso . Em outras palavras, a suposição de que ambos e são positivos garante que “os bens são bons”: a utilidade de Alexei aumenta à medida que o tempo livre ou pontos de nota aumentam.
Na seção anterior, definimos a taxa marginal de substituição (TMS) entre tempo livre e pontos de grade como o valor absoluto da inclinação de uma curva de indiferença, e mostrou que ele era igual à razão entre a utilidade marginal de tempo livre para a utilidade marginal do exame de grau., Com a função utilitária Cobb-Douglas:
As curvas de indiferença são inclinadas para baixo no espaço, de modo que nos movemos para a direita ao longo de uma curva de indiferença, sobe e cai, e assim cai. Desde e são positivos, a senhora deputada também cai. Assim, a função de utilidade Cobb-Douglas implica diminuir MRS.
Leia mais: secções 15.1 e 15.2 de Malcolm Pemberton e Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4th ed. Manchester: Manchester University Press.
