3.2.1 curvas de indiferencia y la tasa marginal de sustitución
Alexei se preocupa por su calificación de examen y su tiempo libre. Hemos visto que sus preferencias pueden representarse gráficamente usando curvas de indiferencia, y que su disposición a intercambiar puntos de calificación por tiempo libre—su tasa marginal de sustitución—está representada por la pendiente de la curva de indiferencia. Aquí mostramos cómo representar sus preferencias matemáticamente.,
utilidad un indicador numérico del valor que se coloca en un resultado, de modo que los resultados de mayor valor se elegirán sobre los de menor valor cuando ambos sean factibles.
recuerde que una curva de indiferencia une combinaciones de puntos de calificación y tiempo libre que le dan a Alexei la misma cantidad de utilidad. Las preferencias se pueden representar matemáticamente escribiendo una función de utilidad, que nos dice cómo las ‘unidades de utilidad’ de una persona dependen de los bienes disponibles. Alexei solo se preocupa por dos cosas: sus horas de tiempo libre y su calificación de examen., Si tiene unidades de tiempo libre y puntos de calificación, su utilidad está dada por una función:
ya que tanto la calificación como el tiempo libre son bienes—a Alexei le gustaría tener tanto de cada uno como sea posible—la función de utilidad debe tener la propiedad de que aumentar o aumentaría . En este caso, decimos que la utilidad depende positivamente de y .
curva de indiferencia una curva de los puntos que indican las combinaciones de bienes que proporcionan un determinado nivel de utilidad al individuo.
La función utility de Alexei tiene dos argumentos., Así como una función de una variable puede ser representada gráficamente por una curva en un plano, una función de dos variables puede ser representada por una superficie en un espacio tridimensional. Dado que los diagramas tridimensionales son difíciles de manejar, los economistas analizan la utilidad gráficamente utilizando la misma técnica que se utiliza para representar el espacio tridimensional en el que vivimos: un mapa de contorno. Los contornos son líneas que unen puntos de igual altura sobre el nivel del mar. Del mismo modo, las curvas de indiferencia son los contornos de la superficie de utilidad, uniendo puntos de igual utilidad.,
en el caso de Alexei, una curva de indiferencia muestra todas las combinaciones de tiempo libre y calificación de examen que le dan el mismo nivel de utilidad. La ecuación de una curva de indiferencia típica es:
donde la constante representa el nivel de utilidad alcanzado en la curva. Diferentes valores de corresponden a diferentes curvas de indiferencia: si aumentamos obtenemos una nueva curva de indiferencia que está por encima y a la derecha de la antigua. Pueden ver tres de las curvas de indiferencia de Alexei en la figura 3.6 del texto, que reproducimos como la Figura 1 a continuación.,
la Figura 1 mapa de Alexei preferencias.
la tasa marginal de sustitución
dada cualquier combinación de tiempo libre y calificación, La tasa marginal de sustitución de Alexei (MRS) (es decir, su disposición a intercambiar puntos de calificación por una hora adicional de tiempo libre) está dada por la pendiente de la curva de indiferencia a través de ese punto.
¿Cómo podemos calcular la pendiente de la curva de indiferencia ?
para hacer esto, necesitamos usar las derivadas parciales de la función utility., Por ejemplo, captura cómo cambia la utilidad a medida que aumenta, manteniendo constante. En economía la derivada parcial se llama la utilidad marginal del tiempo libre. Del mismo modo es la utilidad marginal de puntos de calificación. Ya hemos observado que la utilidad depende positivamente de y . En otras palabras, las utilidades marginales de Alexei son positivas.
calculamos la pendiente de la curva de indiferencia utilizando una técnica llamada Diferenciación implícita, que volveremos a encontrar en Leibnizes posteriores., En el presente caso, el método implica considerar cómo las calificaciones del examen tendrían que cambiar si el tiempo libre aumentara en una pequeña cantidad, con el fin de mantener constante la utilidad.
supongamos que ambos y cambiar por pequeñas cantidades y ., La fórmula de pequeños incrementos para funciones de dos variables da una aproximación al cambio de utilidad , expresándolo como la suma de un ‘efecto de tiempo libre’ y un ‘efecto de calificación de examen’:
si los cambios y son tales que Alexei permanece en la misma curva de indiferencia, entonces su utilidad no cambia; por lo tanto , lo que implica que
reordenando,
los cambios y juntos producen un pequeño movimiento a lo largo de una curva de indiferencia. Así que si ahora tomamos el límite como, el lado izquierdo se acerca a la pendiente de esa curva y la aproximación se convierte en una ecuación.,
así, la pendiente de la curva de indiferencia a través de cualquier punto está dada por la fórmula:
tasa marginal de sustitución (MRS) la compensación que una persona está dispuesta a hacer entre dos bienes. En cualquier punto, esta es la pendiente de la curva de indiferencia. Véase también: tasa marginal de transformación.
el lado derecho de esta ecuación es negativo, ya que ambas utilidades marginales son positivas: aumentar el tiempo libre o la calificación del examen aumenta la utilidad de Alexei. Por lo tanto, las curvas de indiferencia se inclinan hacia abajo, como en el diagrama., Para reducir la confusión, generalmente definimos la tasa marginal de sustitución (MRS) como el valor absoluto de la pendiente. Por lo tanto:
o, en palabras,
definir el MRS como un número positivo nos permite decir, por ejemplo, que el MRS es más alto (Alexei está más dispuesto a intercambiar puntos de calificación por tiempo libre) en los puntos donde la curva de indiferencia es más pronunciada, mientras que la pendiente de la curva de indiferencia es más negativa en tales puntos.
El MRS es el ritmo al que Alexei está preparado para intercambiar puntos de calificación por horas adicionales de tiempo libre., La ecuación anterior, que expresa la MRS como una relación de Utilidades marginales, puede interpretarse de la siguiente manera: la MRS es aproximadamente igual a la utilidad extra obtenida de una unidad más de tiempo libre, dividida por la utilidad extra obtenida de un grado adicional. Como es habitual con las interpretaciones de declaraciones exactas que involucran cálculo en términos de unidades individuales, la aproximación es buena si las unidades son pequeñas cantidades.,
preferencias convexas
cada curva de indiferencia en la Figura 1 se vuelve más plana a medida que uno se mueve a lo largo de ella a la derecha:
tasa marginal de sustitución (MRS) la compensación que una persona está dispuesta a hacer entre dos bienes. En cualquier punto, esta es la pendiente de la curva de indiferencia. Véase también: tasa marginal de transformación.
la MRS de Alexei cae si su tiempo libre se hace mayor y su calificación de examen disminuye de tal manera que mantenga su utilidad constante., Esta propiedad de las preferencias de Alexei se conoce como tasa marginal decreciente de sustitución y generalmente se asume cuando dibujamos curvas de indiferencia con dos bienes.
otra forma de describir esta suposición es observar que las curvas de indiferencia de Alexei son convexas. En términos algebraicos, si reescribimos la ecuación de una curva de indiferencia en la forma, entonces es una función decreciente y convexa de Para dado . Decimos que Alexei tiene preferencias convexas.
una persona cuyas preferencias son convexas siempre prefiere mezclas de bienes a extremos de cualquiera de los bienes., Si dibujamos una línea entre dos puntos en la misma curva de indiferencia, entonces cada punto en la línea es una mezcla de los dos puntos finales. Cuando las curvas de indiferencia son convexas, todos los puntos en la línea entre los puntos finales dan mayor utilidad que los puntos finales.
daremos un ejemplo de una función de utilidad que muestra MRS decreciente en la siguiente sección.
Leer más: secciones 14.2 (para la fórmula de pequeños incrementos) y 15.1 (para contornos y Diferenciación implícita) de Malcolm Pemberton y Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4th ed., Manchester: Manchester University Press.
un ejemplo: la función de utilidad Cobb-Douglas
en esta sección, nos fijamos en una función de utilidad particular que se utiliza a menudo en el modelado económico. Derivamos expresiones para las utilidades marginales y la tasa marginal de sustitución, y verificamos sus propiedades.
como antes, Alexei se preocupa por el tiempo libre y su calificación de examen. Supongamos que su función de utilidad es:
donde y son constantes positivas. Esta función tiene algunas propiedades matemáticas muy convenientes., Se llama una función de Cobb-Douglas por las dos personas que la introdujeron en la economía.
para encontrar las utilidades marginales del tiempo libre y la calificación del examen, debemos encontrar las derivadas parciales de la función de utilidad. Diferenciando con respecto a, vemos que la utilidad marginal del tiempo libre es:
sabemos de la función de utilidad que, que nos da una expresión más simple para la utilidad marginal del tiempo libre:
del mismo modo, la utilidad marginal de la calificación del examen es:
observe que cuando y son positivos, también lo es . Por lo tanto, la suposición de que también es positiva implica eso ., Del mismo modo, implica que . En otras palabras, la suposición de que ambos y son positivos asegura que «los bienes son buenos»: la utilidad de Alexei aumenta a medida que aumenta el tiempo libre o los puntos de calificación.
en la sección anterior, definimos la tasa marginal de sustitución (MRS) entre el tiempo libre y los puntos de calificación como el valor absoluto de la pendiente de una curva de indiferencia, y demostramos que era igual a la relación entre la utilidad marginal del tiempo libre y la utilidad marginal de la calificación del examen., Con la función de utilidad Cobb-Douglas:
las curvas de indiferencia están inclinadas hacia abajo en el espacio, así que a medida que nos movemos hacia la derecha a lo largo de una curva de indiferencia, suben y bajan, y por lo tanto caen. Desde y son positivos, MRS también cae. Por lo tanto, la función de utilidad Cobb-Douglas implica la disminución de la Sra.
Leer más: secciones 15.1 y 15.2 de Malcolm Pemberton y Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4th ed. Manchester: Manchester University Press.
