Numeri realimodifica <|h3>
Per qualsiasi numero reale x, il valore assoluto o modulo di x è indicato da| x/(una barra verticale su ciascun lato della quantità) ed è definito come <| p> | x/ = {x , se x ≥ 0 − x , se x< 0. {\displaystyle |x|=\left\{{\begin{array}{rl}x&{\text{se }}x\geq 0\\-x,&{\text{se }}x<0.\ fine {array}} \ destra.,}
Il valore assoluto di x è quindi sempre positivo o zero, ma mai negativo: quando x stesso è negativo (x <0), allora il suo valore assoluto è necessariamente positivo (|x| = −x > 0).
Da un punto di vista della geometria analitica, il valore assoluto di un numero reale è la distanza di quel numero da zero lungo la linea del numero reale, e più in generale il valore assoluto della differenza di due numeri reali è la distanza tra loro., La nozione di una funzione di distanza astratta in matematica può essere vista come una generalizzazione del valore assoluto della differenza (vedi “Distanza” sotto).
Poiché il simbolo della radice quadrata rappresenta la radice quadrata positiva univoca (quando applicata a un numero positivo), ne consegue che <| p> | x | = x 2 {\displaystyle|x / ={\sqrt {x^{2}}}}
è equivalente alla definizione di cui sopra e può essere usato come definizione alternativa del valore assoluto dei numeri reali.,
Il valore assoluto ha le seguenti quattro proprietà fondamentali (a, b sono numeri reali), che vengono utilizzate per la generalizzazione di questa nozione ad altri domini:
Alcune proprietà utili aggiuntive sono riportate di seguito. Queste sono conseguenze immediate della definizione o implicite dalle quattro proprietà fondamentali di cui sopra.,
Due altre proprietà utili riguardanti le disuguaglianze sono:
| a | ≤ b ⟺ − b ≤ a ≤ b {\displaystyle a\leq b\iff -b\leq a\leq b} | a | ≥ b ⟺ a ≤ − b {\displaystyle a\geq b\iff a\leq b\ } o a ≥ b {\displaystyle a\geq b}
Queste relazioni possono essere utilizzati per risolvere le disuguaglianze che coinvolgono valori assoluti., Per esempio:
| | x − 3 | ≤ 9 {\displaystyle |x-3|\leq 9} | ⟺ − 9 ≤ x − 3 ≤ 9 {\displaystyle \iff -9\leq x-3\leq 9} |
| ⟺ − 6 ≤ x ≤ 12 {\displaystyle \iff -6\leq x\leq 12} |
Il valore assoluto, come “distanza zero”, è utilizzato per definire la differenza assoluta tra arbitraria di numeri reali, la metrica standard su numeri reali.,
Numeri complessimodifica
Poiché i numeri complessi non sono ordinati, la definizione data in alto per il valore assoluto reale non può essere applicata direttamente ai numeri complessi. Tuttavia, l’interpretazione geometrica del valore assoluto di un numero reale come la sua distanza da 0 può essere generalizzata. Il valore assoluto di un numero complesso è definito dalla distanza euclidea del suo punto corrispondente nel piano complesso dall’origine., Questo può essere calcolata utilizzando il teorema di Pitagora: per ogni numero complesso
z = x + i y , {\displaystyle z=x+iy,}
dove x e y sono numeri reali, il valore assoluto o modulo di z è indicata |z| e è definito da
| z | = 2 + 2 = x 2 + y 2 , {\displaystyle |z|={\sqrt {^{2}+^{2}}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},}
dove Re(z) = x e Im(z) = y indicano le parti reale e immaginaria di z, rispettivamente. Quando la parte immaginaria y è zero, questo coincide con la definizione del valore assoluto del numero reale x.,
Quando un numero complesso z è espresso nella sua forma polare come
z = r e i θ , {\displaystyle z=re^{i\theta },} | z | = r {\displaystyle |z|=r} . se si utilizza la funzione di visualizzazione, è possibile utilizzare la funzione di visualizzazione . Per maggiori informazioni clicca qui.}
Il valore assoluto complesso condivide le quattro proprietà fondamentali sopra indicate per il valore assoluto reale.,
Nel linguaggio della teoria dei gruppi, la proprietà moltiplicativa può essere riformulata come segue: il valore assoluto è un omomorfismo di gruppo dal gruppo moltiplicativo dei numeri complessi sul gruppo sotto moltiplicazione di numeri reali positivi.
| k k = 1 n z k | ≤ ≤ k = 1 n | z k/. Per maggiori informazioni, consulta la nostra informativa sulla privacy.\ quad \ quad ( * )} / ∫ E f d x / ≤ ∫ E | f / d x . Per maggiori informazioni, consulta la nostra informativa sulla privacy.,\ quad \ quad ( * * )}
(Questo include le funzioni Riemann-integrabili su un intervallo limitato {\displaystyle } come caso speciale.)
la Prova del complesso triangolo inequalityEdit
(i): esiste c ∈ C {\displaystyle c\in \mathbb {C} } tale che | c | = 1 {\displaystyle |c|=1} e | z | = c ⋅ z {\displaystyle |z|=c\cdot z} ; (ii): R ( z ) ≤ | z | {\displaystyle \mathrm {Re} (z)\leq |z|} . in questo caso , è possibile utilizzare la funzione di comando per il comando di comando e la funzione di comando per il comando di comando ., | ∑ a k z k | = ( i ) (c) ( ∑ a k z k = ∑ k k = ( i, i, i) – ∑ k a R e ( k) ≤ i ( a i ) ∑ a k | k | = ∑ k | c | | z k | = ∑ k | z k | {\displaystyle {\Big |}\sum _{k}z_{k}{\Big |}\;{\overset {(i)}{=}}\;f{\Big (}\sum _{k}z_{k}{\Big )}=\sum _{k}cz_{k}\;{\overset {(d)}{=}}\;\sum _{k}\mathrm {Re} (cz_{k})\;{\overset {(I)}{\leq }}\;\sum _{k}|cz_{k}|=\sum _{k}|c||z_{k}|=\sum _{k}|z_{k}|} .
