Radicali: Introduzione&Semplificazione

Possiamo aumentare i numeri a potenze diverse da solo 2; possiamo cubo le cose (alzando le cose alla terza potenza, o “alla potenza 3”), alzarle alla quarta potenza (o “alla potenza 4”), alzarle alla 100a potenza, e così via. Allo stesso modo, possiamo prendere la radice cubica di un numero, la quarta radice, la 100a radice e così via. Come la radice quadrata annulla la quadratura, così anche la radice cubica annulla la cubatura, la quarta radice annulla l’elevazione delle cose alla quarta potenza, eccetera., Per indicare una radice diversa da una radice quadrata durante la scrittura, usiamo lo stesso simbolo radicale della radice quadrata, ma inseriamo un numero nella parte anteriore del radicale, scrivendo il numero piccolo e infilandolo nella parte “segno di spunta” del simbolo radicale. Questo numero nascosto corrisponde alla radice che stai prendendo. Ad esempio, in relazione al cubing e al cube-rooting, abbiamo:

” sarebbe tecnicamente corretto, non l’ho mai visto usato.,

Si può prendere qualsiasi numero di conteggio, piazza, e finire con una bella pulita numero. Ma il processo non sempre funziona bene quando si va indietro. Ad esempio, considera

, la radice quadrata di tre. Non c’è un bel numero pulito che si piazza a 3, quindi non può essere semplificato come un bel numero intero., Possiamo affrontare in due modi: se stiamo facendo un problema di parole e stiamo cercando di trovare, ad esempio, il tasso di velocità, allora afferreremmo le nostre calcolatrici e troveremmo l’approssimazione decimale di :

Allora arrotonderemmo il valore sopra ad un numero appropriato di cifre decimali e useremmo un’unità o un’etichetta del mondo reale, come “1.7 ft/sec”. D’altra parte, potremmo risolvere un semplice vecchio esercizio di matematica, qualcosa che non ha alcuna applicazione “pratica”. Quindi quasi certamente vorrebbero che dessimo il valore “esatto”, quindi scriveremmo la nostra risposta come semplicemente”

“.,

Poiché la maggior parte di ciò con cui avrai a che fare saranno radici quadrate (cioè seconde radici), la maggior parte di questa lezione si occuperà di esse in modo specifico.

Semplificare i termini di radice quadrata

Per semplificare un termine contenente una radice quadrata, “togliamo” tutto ciò che è un “quadrato perfetto”; cioè, facciamo un fattore all’interno del simbolo radicale e poi tiriamo fuori davanti a quel simbolo tutto ciò che ha due copie dello stesso fattore., fattore 2; pertanto, si può prendere un 2 davanti, non lasciando nulla (ma capita 1) all’interno dei radicali, che poi discesa:

allo stesso modo, 49 è il quadrato di 7, quindi contiene due copie del fattore 7:

E 225 è il quadrato di 15, quindi contiene due copie del fattore 15, in modo da:

si noti che il valore della semplificato radicale è positivo., Mentre uno di +2 e -2 potrebbe essere stato quadrato per ottenere 4,” la radice quadrata di quattro ” è definita come solo l’opzione positiva, +2. Cioè, la definizione della radice quadrata dice che la radice quadrata sputerà solo la radice positiva.

In una nota a margine, vorrei sottolineare che “valutare” un’espressione (per trovare il suo unico valore) e “risolvere” un’equazione (per trovare la sua una o più, o nessuna, soluzione) sono due cose molto diverse. Nel primo caso, stiamo semplificando per trovare il valore definito per un’espressione., Nel secondo caso, stiamo cercando tutti i valori che renderanno vera l’equazione originale.

Quindi, per esempio, quando risolviamo l’equazione x2 = 4, stiamo cercando di trovare tutti i valori possibili che potrebbero essere stati quadrati per ottenere 4. Ma quando stiamo semplicemente semplificando l’espressione

, l’UNICA risposta è “2”; questo risultato positivo è chiamato radice “principale”. (Altre radici, come -2, possono essere definite usando argomenti di scuola di specializzazione come” analisi complessa “e” funzioni di ramo”, ma non ne avrai bisogno per anni, se mai.,)

Spesso l’argomento di un radicale non è un quadrato perfetto, ma può “contenere” un quadrato tra i suoi fattori. Per semplificare questo tipo di radicale, abbiamo bisogno di fattore l’argomento (cioè, fattore tutto ciò che è all’interno del simbolo radicale) e “togliere” una copia di tutto ciò che è un quadrato. Cioè, troviamo qualcosa di cui abbiamo una coppia all’interno del radicale, e ne spostiamo una copia davanti., Quando si fa questo, può essere utile usare il fatto che possiamo passare tra la moltiplicazione delle radici e la radice di una moltiplicazione. In altre parole, possiamo usare il fatto che i radicali possono essere manipolati in modo simile ai poteri:

• Semplificare

Un altro modo per fare la semplificazione di cui sopra sarebbe ricordare i nostri quadrati., Probabilmente sapevi già che 122 = 144, quindi ovviamente la radice quadrata di 144 deve essere 12. Ma i miei passi sopra mostrano come è possibile passare avanti e indietro tra i diversi formati (moltiplicazione all’interno di un radicale, contro la moltiplicazione di due radicali) per aiutare nel processo di semplificazione.

Nel caso ve lo stiate chiedendo, i prodotti dei radicali sono abitualmente scritti come mostrato sopra, usando “moltiplicazione per giustapposizione”, che significa “sono messi uno accanto all’altro, che stiamo usando per significare che sono moltiplicati l’uno contro l’altro”., Potresti mettere un simbolo “volte” tra i due radicali, ma questo non è standard.

• Semplifica

• Semplificare

Quando si scrive un’espressione contenente radicali, è la forma corretta per mettere il radicale al fine dell’espressione. Non solo è”

” non standard, è molto difficile da leggere, soprattutto quando scritto a mano. Il 5 è incluso nella radice quadrata o no? (Nel nostro caso qui, non lo è.)

E fai attenzione a scrivere ordinatamente, perché “

” non è lo stesso di “”., Non vuoi che la tua calligrafia faccia pensare al lettore che intendi qualcosa di diverso da quello che intendevi.

Non devi calcolare il radicand fino ai numeri primi quando semplifichi. Non appena vedi che hai un paio di fattori o un quadrato perfetto, e che tutto ciò che rimane non avrà nulla che possa essere tirato fuori dal radicale, sei andato abbastanza lontano.,

• Semplificare

Dato che c’era stato solo una copia del fattore 2 nella fattorizzazione di 2 × 6 × 6, sinistra-più di 2 non è venuto fuori di una radicale e doveva essere lasciato alle spalle.,

• Semplificare

Sì, Ho usato il “times” nel mio lavoro precedente. No, non includeresti un simbolo “times” nella risposta finale., Stavo usando il “times” per aiutarmi a mantenere le cose dritte nel mio lavoro. Ho usato la formattazione regolare per la mia risposta hand-in. Quando fai il tuo lavoro, usa qualsiasi notazione funziona bene per te.