3.2.1 Curve di indifferenza e il tasso marginale di sostituzione
Alexei si preoccupa per il suo grado di esame e il suo tempo libero. Abbiamo visto che le sue preferenze possono essere rappresentate graficamente usando le curve di indifferenza, e che la sua volontà di scambiare i punti di grado per il tempo libero—il suo tasso marginale di sostituzione—è rappresentato dalla pendenza della curva di indifferenza. Qui mostriamo come rappresentare matematicamente le sue preferenze.,
utility Un indicatore numerico del valore che si posiziona su un risultato, in modo tale che i risultati con valori più alti saranno scelti su quelli con valori inferiori quando entrambi sono fattibili.
Ricorda che una curva di indifferenza unisce combinazioni di punti di grado e tempo libero che danno ad Alexei la stessa quantità di utilità. Le preferenze possono essere rappresentate matematicamente scrivendo una funzione di utilità, che ci dice come le “unità di utilità” di una persona dipendono dai beni disponibili. Alexei si preoccupa solo di due beni: le sue ore di tempo libero e il suo grado di esame., Se ha unità di tempo libero e punti di valutazione, la sua utilità è data da una funzione:
Poiché sia il grado che il tempo libero sono beni—Alexei vorrebbe avere il maggior numero possibile di ciascuno—la funzione di utilità deve avere la proprietà che aumentando o aumenterebbe . In questo caso, diciamo che l’utilità dipende positivamente da e .
curva di indifferenza Una curva dei punti che indicano le combinazioni di beni che forniscono un dato livello di utilità per l’individuo.
La funzione di utilità di Alexei ha due argomenti., Proprio come una funzione di una variabile può essere rappresentata graficamente da una curva su un piano, una funzione di due variabili può essere rappresentata da una superficie nello spazio tridimensionale. Poiché i diagrammi tridimensionali sono scomodi da gestire, gli economisti analizzano graficamente l’utilità usando la stessa tecnica utilizzata per rappresentare lo spazio tridimensionale in cui viviamo: una mappa di contorno. I contorni sono linee che uniscono punti di uguale altezza sul livello del mare. Allo stesso modo, le curve di indifferenza sono i contorni della superficie di utilità, unendo punti di uguale utilità.,
Nel caso di Alexei, una curva di indifferenza mostra tutte le combinazioni di tempo libero e voto d’esame che gli danno lo stesso livello di utilità. L’equazione di una tipica curva di indifferenza è:
dove la costante rappresenta il livello di utilità raggiunto sulla curva. Diversi valori di corrispondono a diverse curve di indifferenza: se aumentiamo otteniamo una nuova curva di indifferenza che è sopra e a destra di quella vecchia. Potete vedere tre delle curve di indifferenza di Alexei nella Figura 3.6 del testo, che riproduciamo come Figura 1 qui sotto.,
Figura 1 Mappatura delle preferenze di Alexei.
Il tasso marginale di sostituzione
Data qualsiasi combinazione di tempo libero e grado, il tasso marginale di sostituzione di Alexei (MRS) (cioè la sua volontà di scambiare punti di grado per un’ora extra di tempo libero) è dato dalla pendenza della curva di indifferenza attraverso quel punto.
Come possiamo calcolare la pendenza della curva di indifferenza ?
Per fare ciò, dobbiamo usare le derivate parziali della funzione di utilità., Ad esempio, cattura come utilità cambia come aumenta, tenendo costante. In economia la derivata parziale è chiamata utilità marginale del tempo libero. Allo stesso modo è l’utilità marginale dei punti di grado. Abbiamo già notato che l’utilità dipende positivamente da e . In altre parole, le utilità marginali di Alexei sono entrambe positive.
Calcoliamo la pendenza della curva di indifferenza usando una tecnica chiamata differenziazione implicita, che incontreremo di nuovo nelle Leibnizes successive., Nel caso di specie, il metodo prevede di considerare come i voti degli esami dovrebbero cambiare se il tempo libero è aumentato di una piccola quantità, al fine di mantenere costante l’utilità.
Supponiamo che entrambi e cambino di piccole quantità e ., Piccoli incrementi formula per funzioni di due variabili dà un’approssimazione della variazione dell’utilità , che si esprime come somma del “tempo libero effetto” e di un ” esame di grade effetto:
Se le modifiche sono tali che Alexei rimane sulla stessa curva di indifferenza, quindi la sua utilità non cambia, quindi , il che implica che
Riorganizzare,
Le modifiche e insieme producono un piccolo movimento lungo una curva di indifferenza. Quindi se ora prendiamo il limite come, il lato sinistro si avvicina alla pendenza di quella curva e l’approssimazione diventa un’equazione.,
Quindi la pendenza della curva di indifferenza attraverso qualsiasi punto è data dalla formula:
tasso marginale di sostituzione (MRS) Il trade-off che una persona è disposta a fare tra due beni. In qualsiasi punto, questa è la pendenza della curva di indifferenza. Vedi anche: tasso marginale di trasformazione.
Il lato destro di questa equazione è negativo, poiché entrambe le utilità marginali sono positive: l’aumento del tempo libero o del grado di esame aumenta l’utilità di Alexei. Così curve di indifferenza pendenza verso il basso, come nel diagramma., Per ridurre la confusione, di solito definiamo il tasso marginale di sostituzione (MRS) come il valore assoluto della pendenza. Quindi:
o, in parole,
Definire la MRS come un numero positivo ci permette di dire, ad esempio, che la MRS è più alta (Alexei è più disposto a scambiare punti di grado per tempo libero) nei punti in cui la curva di indifferenza è più ripida, mentre la pendenza della curva di indifferenza è più negativa in tali punti.
La MRS è la velocità con cui Alexei è pronto a scambiare punti di grado per ulteriori ore di tempo libero., L’equazione di cui sopra, esprimendo la MRS come rapporto tra utilità marginali, può essere interpretata come segue: la MRS è approssimativamente uguale all’utilità extra ottenuta da un’altra unità di tempo libero, divisa per l’utilità extra ottenuta da un punto di voto aggiuntivo. Come al solito con interpretazioni di affermazioni esatte che coinvolgono il calcolo in termini di singole unità, l’approssimazione è buona se le unità sono piccole quantità.,
Preferenze convesse
Ogni curva di indifferenza in Figura 1 diventa più piatta man mano che ci si sposta lungo di essa verso destra:
tasso marginale di sostituzione (MRS) Il trade-off che una persona è disposta a fare tra due beni. In qualsiasi punto, questa è la pendenza della curva di indifferenza. Vedi anche: tasso marginale di trasformazione.
La signora di Alexei cade se il suo tempo libero diventa più grande e il suo grado di esame diminuisce in modo tale da mantenere costante la sua utilità., Questa proprietà delle preferenze di Alexei è nota come diminuzione del tasso marginale di sostituzione e viene solitamente assunta quando disegniamo curve di indifferenza con due beni.
Un altro modo per descrivere questa ipotesi è notare che le curve di indifferenza di Alexei sono convesse. In termini algebrici, se riscriviamo l’equazione di una curva di indifferenza nella forma , allora è una funzione decrescente e convessa di per dato . Diciamo che Alexei ha preferenze convesse.
Una persona le cui preferenze sono convesse preferisce sempre miscele di beni agli estremi di entrambi i beni., Se tracciamo una linea tra due punti sulla stessa curva di indifferenza, allora ogni punto sulla linea è una miscela dei due punti finali. Quando le curve di indifferenza sono convesse, tutti i punti sulla linea tra i punti finali danno un’utilità maggiore rispetto ai punti finali.
Daremo un esempio di una funzione di utilità che mostra MR decrescente nella prossima sezione.
Per saperne di più: Sezioni 14.2 (per la formula piccoli incrementi) e 15.1 (per contorni e differenziazione implicita) di Malcolm Pemberton e Nicholas Rau. 2015. Matematica per gli economisti: Un libro di testo introduttivo, 4a ed., Manchester: Manchester University Press.
Un esempio: La funzione di utilità Cobb-Douglas
In questa sezione, esaminiamo una particolare funzione di utilità che viene spesso utilizzata nella modellazione economica. Deriviamo espressioni per le utilità marginali e il tasso marginale di sostituzione e verifichiamo le loro proprietà.
Come prima, Alexei si preoccupa del tempo libero e del suo esame. Supponiamo che la sua funzione di utilità sia:
dove e sono costanti positive. Questa funzione ha alcune proprietà matematiche molto convenienti., Si chiama funzione Cobb-Douglas dopo le due persone che l’hanno introdotta nell’economia.
Per trovare le utilità marginali del tempo libero e del grado di esame, dobbiamo trovare le derivate parziali della funzione di utilità. Differenziando rispetto a , vediamo che l’utilità marginale del tempo libero è:
sappiamo che la funzione di utilità che , che ci dà una semplice espressione per l’utilità marginale del tempo libero:
allo stesso modo, l’utilità marginale del voto esame:
si Noti che, quando sono positivi, così si fa . Quindi il presupposto che è anche positivo implica che ., Allo stesso modo, implica che . In altre parole, l’ipotesi che entrambi e siano positivi assicura che “le merci sono buone”: l’utilità di Alexei aumenta con l’aumentare del tempo libero o dei punti di valutazione.
Nella sezione precedente, abbiamo definito il tasso marginale di sostituzione (MRS) tra tempo libero e punti di valutazione come il valore assoluto della pendenza di una curva di indifferenza e abbiamo dimostrato che era uguale al rapporto tra l’utilità marginale del tempo libero e l’utilità marginale del voto dell’esame., Con la funzione di utilità Cobb-Douglas:
Le curve di indifferenza sono in pendenza verso il basso nello spazio, così come ci spostiamo a destra lungo una curva di indifferenza, sale e scende, e quindi cade. Dal momento che e sono positivi, la signora cade anche. Pertanto, la funzione di utilità Cobb-Douglas implica una diminuzione della signora
Leggi di più: Sezioni 15.1 e 15.2 di Malcolm Pemberton e Nicholas Rau. 2015. Matematica per gli economisti: Un libro di testo introduttivo, 4a ed. Manchester: Manchester University Press.
