Véritable numbersEdit
Pour tout nombre réel x, la valeur absolue ou le module de x est notée |x| (barre verticale de chaque côté de la quantité), et est définie comme
| x | = { x , si x ≥ 0 − x si x < 0. {\displaystyle |x|=\left\{{\begin{array}{lr}x&{\text{si }}x\geq 0\\-x,&{\text{si }}x<0.\end{array}}\right.,}
La valeur absolue de x est donc toujours positive ou nulle, mais jamais négatif: lorsque x est négatif (x < 0), alors sa valeur absolue est nécessairement positif (|x| = −x > 0).
D’un point de vue de géométrie analytique, la valeur absolue d’un nombre réel est la distance de ce nombre de zéro le long de la ligne des nombres réels, et plus généralement la valeur absolue de la différence de deux nombres réels est la distance entre eux., La notion de fonction abstraite de distance en mathématiques peut être vue comme une généralisation de la valeur absolue de la différence (voir « Distance » ci-dessous).
puisque le symbole de racine carrée représente la racine carrée positive unique (lorsqu’il est appliqué à un nombre positif), il s’ensuit que <| p> | x | = x 2 {\displaystyle|x / ={\sqrt {x^{2}}}}
est équivalent à la définition ci-dessus, et peut être utilisé comme une définition alternative de la valeur absolue des nombres réels.,
la valeur absolue a les quatre propriétés fondamentales suivantes (a, b sont des nombres réels), qui sont utilisées pour généraliser cette notion à d’autres domaines:
quelques propriétés utiles supplémentaires sont données ci-dessous. Ce sont soit des conséquences immédiates de la définition, soit implicites par les quatre propriétés fondamentales ci-dessus.,
Deux autres propriétés utiles concernant les inégalités sont:
| un | ≤ b ⟺ − b ≤ a ≤ b {\displaystyle |a|\leq b\iff -b\leq a\leq b} | a | ≥ b ⟺ un ≤ − b {\displaystyle |a|\geq b\iff a\leq b\ } ou a ≥ b {\displaystyle a\geq b}
Ces relations peuvent être utilisées pour résoudre les inégalités impliquant des valeurs absolues., Par exemple:
| | x − 3 | ≤ 9 {\displaystyle |x-3|\leq 9} | ⟺ − 9 ≤ x − 3 ≤ 9 {\displaystyle \iff -9\leq x-3\leq 9} |
| ⟺ − 6 ≤ x ≤ 12 {\displaystyle \iff -6\leq x\leq 12} |
La valeur absolue, comme « distance zéro », est utilisé pour définir la valeur absolue de la différence entre l’arbitraire des nombres réels, la norme métrique sur les nombres réels.,
Complex numbersEdit
puisque les nombres complexes ne sont pas ordonnés, la définition donnée en haut pour la valeur absolue réelle ne peut pas être directement appliquée aux nombres complexes. Cependant, l’interprétation géométrique de la valeur absolue d’un nombre réel comme sa distance de 0 peut être généralisé. La valeur absolue d’un nombre complexe est définie par la distance Euclidienne de son point correspondant dans le plan complexe de l’origine., Cela peut être calculée à l’aide du théorème de Pythagore: pour tout nombre complexe
z = x + i y , {\displaystyle z=x+iy,}
où x et y sont des nombres réels, la valeur absolue ou le module de z est noté |z|, et est définie par
| z | = 2 + 2 = x 2 + y 2 , {\displaystyle |z|={\sqrt {^{2}+^{2}}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},}
où Re(z) = x et Im(z) = y désigner les parties réelles et imaginaires de z, respectivement. Lorsque la partie imaginaire y est nulle, cela coïncide avec la définition de la valeur absolue du nombre réel X.,
Quand un nombre complexe z est exprimé dans sa forme polaire comme
z = r e i θ , {\displaystyle z=re^{i\theta },} | z | = r {\displaystyle |z|=r} . | z | = z ⋅ z , {\displaystyle |z|={\sqrt {z\cdot {\overline {z}}}},}
ressemblant à la définition alternative pour des reals: | x | = x ⋅ x . {\displaystyle |x|={\sqrt {x\cdot x}}.}
la valeur absolue complexe partage les quatre propriétés fondamentales données ci-dessus pour la valeur absolue réelle.,
dans le langage de la théorie des groupes, la propriété multiplicative peut être reformulée comme suit: la valeur absolue est un homomorphisme de groupe du groupe multiplicatif des nombres complexes sur le groupe sous multiplication des nombres réels positifs.
| ∑ k = 1 n k z | ≤ ∑ k = 1 n | z k | . ( ∗ ) {\displaystyle {\Bigg |}\sum _{k=1}^{n}z_{k}{\Bigg |}\leq \sum _{k=1}^{n}|z_{k}|.\quad \quad (*)} | ∫ E f d x | ≤ ∫ E | f | d x . ( ∗ ∗ ) {\displaystyle {\Bigg |}\int _{E}f\ dx{\Bigg |}\leq \int _{E}|f|\ dx.,\quad\quad (**)}
(Cela inclut les fonctions intégrables de Riemann sur un intervalle borné {\displaystyle } comme cas particulier.
preuve de l’inégalité du triangle complexedit
(i): il existe c ∈ C {\displaystyle C\dans \mathbb {C} } tel que | c | = 1 {\displaystyle |c|=1} et | z | = C z z {\displaystyle |z|=c\cdot z} ; (ii): R e ( z ) ≤ | z | {\displaystyle \mathrm {Re} (z)\leq |z|} . (iii): si ∑ k w k ∈ R {\textstyle \sum _{k}w_{k}\in \mathbb {R} } , alors ∑ k w k = ∑ k R e ( w k ) {\textstyle \sum _{k}w_{k}=\sum _{k}\mathrm {Re} (w_{k})} ., | ∑ a k z k | = ( i ) (c) ( ∑ a k z k = ∑ k k = ( i, i, i) – ∑ k a R e ( k) ≤ i ( a i ) ∑ a k | a k | = ∑ k | c | | z k | = ∑ k | z k | {\displaystyle {\Big |}\sum _{k}z_{k}{\Big |}\;{\excès {(i)}{=}}\;f{\Big (}\sum _{k}z_{k}{\Big )}=\sum _{k}cz_{k}\;{\excès {(j)}{=}}\;\sum _{k}\mathrm {Re} (cz_{k})\;{\excès {(I)}{\leq }}\;\sum _{k}|cz_{k}|=\sum _{k}|c||z_{k}|=\sum _{k}|z_{k}|} .
