nombre réel, en mathématiques, une quantité qui peut être exprimée comme une expansion décimale infinie. Les nombres réels sont utilisés dans des mesures de quantités variables en continu telles que la taille et le temps, contrairement aux nombres naturels 1, 2, 3, …, résultant du comptage. Le mot réel les distingue des nombres complexes impliquant le symbole i, ou racine carrée de√-1, utilisé pour simplifier l’interprétation mathématique des effets tels que ceux qui se produisent dans les phénomènes électriques., Les nombres réels comprennent les entiers positifs et négatifs et les fractions (ou nombres rationnels) ainsi que les nombres irrationnels. Les nombres irrationnels ont des expansions décimales qui ne se répètent pas, contrairement aux nombres rationnels, dont les expansions contiennent toujours un chiffre ou un groupe de chiffres qui se répète, comme 1/6 = 0,16666… ou 2/7 = 0,285714285714…. La décimale formée comme 0,42442444244442… n’a pas de groupe se répétant régulièrement et est donc irrationnelle.,
Les nombres irrationnels les plus familiers sont les nombres algébriques, qui sont les racines des équations algébriques à coefficients entiers. Par exemple, la solution de l’équation x2 − 2 = 0 est un nombre irrationnel algébrique, indiqué par la racine Carrée de√2. Certains nombres, tels que π et e, ne sont pas les solutions d’une telle équation algébrique et sont donc appelés nombres irrationnels transcendantaux. Ces nombres peuvent souvent être représentés comme une somme infinie de fractions déterminées d’une manière régulière, en effet l’expansion décimale est une telle somme.,
Les Nombres réels peuvent être caractérisés par l’importante propriété mathématique de complétude, ce qui signifie que tout ensemble non vide qui a une borne supérieure a une plus petite telle borne, une propriété non possédée par les nombres rationnels. Par exemple, l’ensemble de tous les nombres rationnels dont les carrés sont inférieurs à 2 n’a pas de plus petite borne supérieure, car la racine carrée de√2 n’est pas un nombre rationnel., Les nombres irrationnels et rationnels sont tous deux infiniment nombreux, mais l’infini des irrationnels est « plus grand” que l’infini des rationnels, en ce sens que les rationnels peuvent être appariés avec un sous-ensemble des irrationnels, tandis que l’appariement inverse n’est pas possible.
