3.2.1 courbes d’indifférence et taux marginal de substitution
Alexei se soucie de sa note d’examen et de son temps libre. Nous avons vu que ses préférences peuvent être représentées graphiquement à l’aide de courbes d’indifférence, et que sa volonté d’échanger des points de note contre du temps libre—son taux marginal de substitution—est représentée par la pente de la courbe d’indifférence. Nous montrons ici comment représenter mathématiquement ses préférences.,
utilité un indicateur numérique de la valeur que l’on accorde à un résultat, de sorte que les résultats les plus valorisés seront choisis plutôt que les moins valorisés lorsque les deux sont réalisables.
rappelez-vous qu’une courbe d’indifférence réunit des combinaisons de points de note et de temps libre qui donnent à Alexei la même quantité d’utilité. Les préférences peuvent être représentées mathématiquement en écrivant une fonction d’utilité, qui nous indique comment les « unités d’utilité » d’une personne dépendent des biens disponibles. Alexei ne se soucie que de deux biens: ses heures de temps libre et sa note d’examen., S’il a des unités de temps libre et des points de note, son utilité est donnée par une fonction:
puisque la note et le temps libre sont des biens—Alexei aimerait en avoir autant que possible—la fonction d’utilité doit avoir la propriété que l’augmentation ou augmenterait . Dans ce cas, nous disons que l’utilité dépend positivement sur et .
courbe d’indifférence une courbe des points qui indiquent les combinaisons de biens qui fournissent un niveau d’utilité donné à l’individu.
la fonction utilitaire D’Alexei a deux arguments., Tout comme une fonction d’une variable peut être représentée graphiquement par une courbe sur un plan, une fonction de deux variables peut être représenté par une surface dans l’espace à trois dimensions. Comme les diagrammes tridimensionnels sont difficiles à manipuler, les économistes analysent graphiquement l’utilité en utilisant la même technique que celle utilisée pour représenter l’espace tridimensionnel dans lequel nous vivons: une carte de contour. Les Contours sont des lignes joignant des points de hauteur égale au-dessus du niveau de la mer. De même, les courbes d’indifférence sont les contours de la surface d’utilité, joignant des points d’utilité égale.,
dans le cas D’Alexei, une courbe d’indifférence montre toutes les combinaisons de temps libre et de note d’examen qui lui donnent le même niveau d’utilité. L’équation d’une courbe d’indifférence typique est:
où la constante représente le niveau d’utilité atteint sur la courbe. Différentes valeurs de correspondent à différentes courbes d’indifférence: si nous augmentons, nous obtenons une nouvelle courbe d’indifférence qui est au-dessus et à droite de l’ancienne. Vous pouvez voir trois des courbes d’indifférence D’Alexei dans la Figure 3.6 du texte, que nous reproduisons comme Figure 1 ci-dessous.,
la Figure 1 Cartographie Alexei préférences.
le taux marginal de substitution
étant donné toute combinaison de temps libre et de grade, le taux marginal de substitution (MRS) D’Alexei (c’est-à-dire sa volonté d’échanger des points de grade contre une heure supplémentaire de temps libre) est donné par la pente de la courbe d’indifférence à travers ce point.
comment calculer la pente de la courbe d’indifférence ?
pour ce faire, nous devons utiliser les dérivées partielles de la fonction utilitaire., Par exemple, capture comment l’utilité change à mesure que les augmentations, en maintenant constante. En économie, la dérivée partielle est appelée l’utilité marginale du temps libre. De même est l’utilité marginale des points de note. Nous avons déjà noté que l’utilité dépend positivement de et . En d’autres termes, les utilitaires marginaux D’Alexei sont tous deux positifs.
nous calculons la pente de la courbe d’indifférence en utilisant une technique appelée différenciation implicite, que nous rencontrerons à nouveau dans les Leibnizes ultérieures., Dans le cas présent, la méthode consiste à considérer comment les notes d’examen devraient changer si le temps libre augmentait d’une petite quantité, afin de maintenir l’utilité constante.
supposons les deux et changer par petites quantités et ., La formule des petits incréments pour les fonctions de deux variables donne une approximation du changement d’utilité, l’exprimant comme la somme d’un « effet de temps libre » et d’un « effet de note d’examen »:
Si les changements et sont tels Qu’Alexei reste sur la même courbe d’indifférence, alors son utilité ne change pas; ainsi , ce qui implique que
réarrangement,
Les changements et ensemble produisent un petit mouvement le long d’une courbe d’indifférence. Donc, si nous prenons maintenant la limite , la gauche s’approche de la pente de cette courbe et le rapprochement devient une équation.,
ainsi, la pente de la courbe d’indifférence à travers n’importe quel point est donnée par la formule:
taux marginal de substitution (MRS) le compromis qu’une personne est prête à faire entre deux biens. À tout moment, c’est la pente de la courbe d’indifférence. Voir aussi: taux marginal de transformation.
le côté droit de cette équation est négatif, car les deux utilitaires marginaux sont positifs: augmenter le temps libre ou la note d’examen augmente L’utilité D’Alexei. Ainsi, les courbes d’indifférence s’inclinent vers le bas, comme dans le diagramme., Pour réduire la confusion, nous définissons généralement le taux marginal de substitution (MRS) comme la valeur absolue de la pente. Ainsi:
ou, en mots,
définir le MRS comme un nombre positif nous permet de dire, par exemple, que le MRS est plus élevé (Alexei est plus disposé à échanger des points de note contre du temps libre) aux points où la courbe d’indifférence est plus raide, alors que la pente de la courbe d’indifférence est plus négative à
Le MRS est le taux auquel Alexei est prêt à échanger des points de note contre des heures supplémentaires de temps libre., L’équation ci-dessus, exprimant le SRM comme un rapport des utilités marginales, peut être interprétée comme suit: le SRM est approximativement égal à l’utilité supplémentaire obtenue à partir d’une unité de temps libre supplémentaire, divisée par l’utilité supplémentaire obtenue à partir d’un point de grade supplémentaire. Comme d’habitude avec les interprétations d’énoncés exacts impliquant le calcul en termes d’unités individuelles, l’approximation est bonne si les unités sont de petites quantités.,
préférences convexes
chaque courbe d’indifférence de la Figure 1 devient plus plate à mesure que l’on se déplace vers la droite:
taux marginal de substitution (MRS) le compromis qu’une personne est prête à faire entre deux biens. À tout moment, c’est la pente de la courbe d’indifférence. Voir aussi: taux marginal de transformation.
la MRS D’Alexei diminue si son temps libre augmente et que sa note à l’examen diminue de manière à maintenir son utilité constante., Cette propriété des préférences D’Alexei est connue sous le nom de taux marginal décroissant de substitution et est généralement supposée lorsque nous dessinons des courbes d’indifférence avec deux biens.
Une autre façon de décrire cette hypothèse est de noter que les courbes d’indifférence D’Alexei sont convexes. En termes algébriques, si nous réécrivons l’équation d’une courbe d’indifférence sous la forme , alors est une fonction décroissante et convexe de Pour donnée . Nous disons Qu’Alexei a des préférences convexes.
Une personne dont les préférences sont convexes préfère toujours les mélanges de biens aux extrêmes de l’un ou l’Autre bien., Si nous tracons une ligne entre deux points sur la même courbe d’indifférence, alors chaque point de la ligne est un mélange des deux points finaux. Lorsque les courbes d’indifférence sont convexes, tous les points de la ligne entre les points d’extrémité donnent une utilité plus élevée que les points d’extrémité.
Nous allons donner un exemple d’une fonction d’utilité affichant Mrs Décroissante dans la section suivante.
Lire la suite: Sections 14.2 (Pour la formule des petits incréments) et 15.1 (pour les contours et la différenciation implicite) de Malcolm Pemberton et Nicholas Rau. 2015. Mathématiques pour économistes: Une introduction pour les manuels scolaires, 4e ed., Manchester: Manchester University Press.
un exemple: la fonction D’utilité de Cobb-Douglas
dans cette section, nous examinons une fonction d’utilité particulière qui est souvent utilisée dans la modélisation économique. Nous dérivons des expressions pour les utilitaires marginaux et le taux marginal de substitution, et vérifions leurs propriétés.
comme auparavant, Alexei se soucie du temps libre et de sa note d’examen. Supposons que sa fonction d’utilité est:
où et sont des constantes positives. Cette fonction a des propriétés mathématiques très pratiques., On l’appelle une fonction Cobb-Douglas d’après les deux personnes qui l’ont introduite en économie.
Pour trouver les utilités marginales de temps libre et de la catégorie d’examen, nous devons trouver les dérivées partielles de la fonction d’utilité. En se différenciant par rapport à, nous voyons que l’utilité marginale du temps libre est:
Nous savons de la fonction d’utilité que , ce qui nous donne une expression plus simple pour l’utilité marginale du temps libre:
de même, l’utilité marginale de la note d’examen est:
notez que lorsque et sont positifs, D’où l’hypothèse qui est également positif implique que ., De même, implique que . En d’autres termes, l’hypothèse que les deux et sont positifs garantit que « les biens sont bons »: L’utilité D’Alexei augmente à mesure que le temps libre ou les points de note augmentent.
dans la section précédente, nous avons défini le taux marginal de substitution (MRS) entre le temps libre et les points de note comme la valeur absolue de la pente d’une courbe d’indifférence, et montré qu’il était égal au rapport entre l’utilité marginale du temps libre et l’utilité marginale de la note d’examen., Avec la fonction utilitaire de Cobb-Douglas:
Les courbes d’indifférence sont en pente descendante dans l’espace, de sorte que lorsque nous nous déplaçons vers la droite le long d’une courbe d’indifférence, monte et descend, et donc tombe. Depuis et sont positifs, Mme tombe également. Ainsi, la fonction D’utilité Cobb-Douglas implique la diminution de Mme
Lire la suite: Sections 15.1 et 15.2 de Malcolm Pemberton et Nicholas Rau. 2015. Mathématiques pour économistes: Une introduction pour les manuels scolaires, 4e ed. Manchester: Manchester University Press.
